Циклическое число

04.03.2015, 00:07,
Наука и технологии

Просмотров: 0

…- или как правильно это называется ? Вот в чем суть, являясь периодом разложения обыкновенной дроби $frac{1}{7}$ в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Если разделить единицу на семь и округлить полученный результат до шестого знака после запятой, получится 0.142857.

Число 142857 называют циклическим. Если последовательно умножать его на 2, 3, 4, 5 и 6, получаются числа, в которых цифры как будто перескакивают из начала очереди в ее конец:

1 × 142,857 = 142.857
2 × 142,857 = 285.714
3 × 142,857 = 428.571
4 × 142,857 = 571.428
5 × 142,857 = 714.285
6 × 142,857 = 857.142
7 × 142 857 = 999 999

При этом получившиеся числа практически один в один походят на результаты деления на 7:

1 / 7 = 0.142857
2 / 7 = 0.285714
3 / 7 = 0.428571
4 / 7 = 0.571428
5 / 7 = 0.714285
6 / 7 = 0.857142

-
Еще один момент интересный : общепринятый формат бумаги А4 имеет размерность 210 на 297 миллиметров. Если разделить 297 на 210, то получится число 1.4142857
-
Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999:
8 × 142857 = 1142856 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857)
42 × 142857 = 5999994 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999)
142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)
Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.
Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на $frac{5}{10}$ или на $frac{2}{10}$ соответственно) также можно получить сдвигом:
142 857 / 2 = 71 428.5
142 857 / 5 = 28 571.4
После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:
$857^2 = 734449,$
$142^2 = 20164,$
$734449 - 20164 = 714285,$
Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби $frac{1}{7}$ . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:
1/7 = 0.14285714285714285714…
2/7 = 0.28571428571428571428…
3/7 = 0.42857142857142857142…
4/7 = 0.57142857142857142857…
5/7 = 0.71428571428571428571…
6/7 = 0.85714285714285714285…
Если число 142 857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99. 142 857 является также Числом харшад и Числом Капрекара

Следующее циклическое число —- 0588235294117647 с 16 цифрами:
0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
…-
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

Многие диковинки из области теории чисел можно с успехом демонстрировать как карточные фокусы. В качестве примера приведем следующий фокус. Он основан на том, что если умножить «циклическое число» 142857 на любое целое число от 2 до 6, то получится число, составленное из тех же цифр с круговой (циклической) их перестановкой.

Фокус состоит в следующем. Зрителю даются пять карт красной масти, имеющие числовые значения 2, 3, 4, 5 и 6. Себе же показывающий берет шесть карт черной масти, размещая их так, чтобы их числовые значения соответствовали цифрам числа 142857. Как показывающий, так и зритель тасуют свои карты- при этом показывающий только делает вид, что тасует, а в самом деле сохраняет и порядок неизменным. (Этого можно легко добиться, дважды перекладывая карты по одной с одной стороны колоды на другую. Быстрое выполнение этой операции создает полное впечатление тасовки, хотя весь эффект состоит в том, что расположение карт дважды меняется на обратное, оставляя таким образом первоначальный порядок неизменным.)

Показывающий раскладывает на столе карты в ряд, лицевой стороной кверху, образуя число 142857. Зритель вытягивает одну из своих карт и кладет ее лицевой стороной вверх под рядом, разложенным показывающим. С помощью карандаша и бумаги зритель перемножает наше число на числовое значение вытянутой им карты. Пока он занят этим делом, показывающий собирает свои карты, накладывает на первую слева карту соседнюю, затем на нее соседнюю и т. д., «снимает» их один раз и снова кладет на стол кучкой (лицевой стороной книзу) ⁵). После того как зритель выполнит умножение, показывающий берет свою кучку карт и снова раскладывает их слева направо лицевой стороной кверху. Шестизначное число, которое при этом получается, в точности совпадает с результатом умножения, найденным зрителем.

А вот еще интересное про числа вот например знаменитое Число зверя, а вот Число «-фи»-. Обратите внимание еще на Волшебные ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ и на то, что Великая теорема Ферма доказан